为什么任意三角形的内角和都是180°？是巧合还是万物皆规律？
谢谢网友“付祥526”邀请！
首先，三角形内角和180°是必然的规律，因为可以得到合理地证明。
中学阶段有多种证明三角形内角和的方法，以下简单列举三种：
第一种方法：通过做平行线将三个角转化成一个平角，刚好就是180°。
如图①，△ABC中，延长BC到D，过C作CE‖BA
∴∠B＝∠ECD（同位角相等），且∠A＝∠ACE（内错角相等）
∵∠ACB＋∠ACE＋∠ECD＝180°（平角）
把上述角代换，得：
∠ACB＋∠B＋∠A＝180°
∴三角形内角和等于180度
第二种方法：用拼图法，跟第一种方法原理类似，都是将三角形的三个角转化到一个角。这也是证明题常用的方法。如图②。
第三种方法：如图③利用圆来证明，也很清楚。
三角形都有外接圆，∠A对BC弧，∠B对AC弧，∠C对AB弧。
定理：圆周角的度数等于所对弧的度数的一半。
∴∠A＋∠B＋∠C＝1/2??(BC弧＋AC弧＋AB弧)
就是：∠A＋∠B＋∠C＝1/2?×360°＝180°
∴三角形内角和等于180度。
任意多边形内角和的证明更简单了，我们可以以任意点为顶点，连接它与其他所有不相邻点，将n边形分成（n-2）个三角形，所以任意多边形内角和就是（n-2）×180°了。
谢邀请简作答。您提问的问题是中学数学中的平面几何知识。任意三角形的三个内角和等于180度，不是巧合！它像物理学中的阿基米德和牛顿定律一样，属于被证明的一条几何定理！要求证这一定理是科学的，方法好多，①最简单的是在任意一角的顶点作与对应边相平行的直线，运用内错角相等和等量代换的方法，证明三个角的和等于一个平角的度数~180度。②也可作三角形ABC，作Bc边延长线到D，然后以c为起点，作与AB边平行的直线到E。由此看出，角B=角ECD(同位角相等)。角A=角ACE(内错角相等)。因为角ACB+角ACE+角ECD=一个平角=180度，所以角A+角B+角C=180度(等量代换)。由此证明任意三角形的内角和等于180度这一几何定理是科学的，不是巧合！(手机上打不出几何图很报欠)OO求助于题主:今春五月，我出题将1780360128或33479650567这两个数开立方，要求写出理论根据，写出完整的竖式开立方过程。此后有两个大学生说试试看，至今无果。请先生帮忙找到解题的学子！
三角形内角和等于180o是基于欧式几何在平面上的一个结论，在平面上，我们规定一个周角是360o，一个平角是180o，一个直角是90o，这样的规定是人为规定的，大家觉得挺方便的，所以就都遵守这个约定。你喜欢，可以自己规定一个周角是100o也是可以的，这样得到一个直角是25o，也是没问题的。
基于周角是360o的前提下，三角形的内角和经过证明，刚好和一个平角是一样大的，所以我们得到任意三角形内角和都是180o。
注意，如果不是在平面上，是在曲面上的三角形，其内角和是可以不等于180o的，只是一般人不了解非欧几何学，其实这个东西很重要，爱因斯坦就是受了非欧几何学的启发，提出了广义相对论，大质量的天体由于巨大的引力会扭曲周围的时空，这样就需要用到非欧几何的知识来进行计算了。
无刻度度量的几何
讨论欧氏几何首先需要明确线段或两点间的距离是欧几里得几何规定的度量，即这个度量是没有刻度的。在《几何原本》基础几何的开篇中提到了欧氏几何面临作图的三大问题：①三等分任意角问题、②倍立方问题、③化方为圆问题。其难处在于作图只允许没有刻度的直尺和圆规。
第五公设
同平面内一条直线和另外两条直线相交，若在直线同侧的两个内角之和小于两个直角（180°），则这两条直线经无限延长后在这一侧一定相交。与此同时，任意三角形的内角和等于两个直角是第五公设的等价命题之一。如图1
图1 第五公设与任意三角形
有网友提出了证明“任意三角形内角和”的方法①“通过作平行线将三角形的三个角转化成一个平角”，方法②“用拼图法移动得到一个平角”等。目前，任意三角形的内角和等于两个直角没有得到学界确认的证明，这些方法需要商榷。
欧几里得所设的5条公设
公设I.1：过现点可作一条直线（以两点间的距离处理的线段图形）。
公设I.2：直线可以向两端延长（以不相等的重合线段处理的直线图形）。
公设I.3：以定点为圆心及定长的线段为半径可以作圆（以线段处理的圆图形）。
公设I.4：凡直角都相等（以相交的直线处理的直角图形）。
公设I.5：前述第五公设（以相交和不相交的直线涉及了平行线图形）。
（见人民日报出版社出版的《几何原本》）
数学基础的讨论
涉及到欧氏几何第五公设的讨论是数学的基础问题。根号√2无理数触发的第一次数学危机破灭了毕达哥拉斯学派试图用“数”来解释宇宙万物的地位。欧几里得强化使用逻辑演绎形式进行严密推理，提供了一种公理化模式，但欧氏也留下了《几何原本》中第五公设的缺憾。
随着微积分发明后的广泛应用，促使学界对微积分方法寻求一种基础理论，康托尔提出了朴素的集合论方案，拟结束第二次数学危机。然而，罗素提出“理发师悖论”指出了康托尔集合论中的缺陷，将危机又推向了新高度，形成了第三次数学危机。
希尔伯特为解决数学危机放弃了欧几里得的传统概念，抛弃了欧氏几何的点、线、面直观意义，只研究它们之间的关系，塑造成了形式化的公理方案，提出了23个数学问题。富有戏剧性的是，哥德尔直接对希尔伯特提出的连续统假设做出证明，得到了意想不到的结论：第一不完全性定理和第二不完全性定理。同时，使直觉主义、逻辑主义、形式主义代表的三大数学流派就数学基础的讨论暂时拉上了帷幕。
第五公设的再讨论
回到柏拉图时代，柏拉图的观点为：“形”是“物”的存在条件；亚里士多德认为：“质料”依靠“形式”而存在；牛顿进一步认为：“时空是绝对存在的，且独立于一切存在的存在”；而康托尔则认为：“这种绝对存在是一种先验假设”。
在质疑第五公设的二千多年的间隔中，人们以公设I.1所设的线段图形作为基础设定，通过重合概念由不同的线段来处理公设I.2的直线图形，通过滑动概念由给定的线段来处理公设I.3的圆图形，通过相交概念在线段上立另一条线段成相邻相等的两角来处理公设I.4的直角图形。但试图通过前4条公设对第五公设的处理都没有获得成功。
我国学者程平发表文章指出，以往认为欧氏第五公设不能被证明的原因为“不是任何数目的原始命题都能完成对第五公设的逻辑检验”。也有学者撰文《在欧几里得公理体系中添加椭圆公设》并指出，可通过欧氏规定的无刻度度量方法，用欧氏的前4条公设和5条公理，融合《几何原本》的4个公认命题，可给出原始设定的椭圆公设来奠定椭圆图形。
椭圆公设的作用
在几何学上，欧几里得的证明需要依赖图形，这种知识不是由经验得来的，证明的对象必须服从几何学的推演，第五公设的公理化推演也不例外，并需要椭圆公设奠定的图形发挥作用。
倘若，将椭圆公设作为公理系统的起点，设一条过椭圆中心的弦，且作该椭圆弦的两端的两条切线，就会形成L1、L2、L3三条相交的直线。进而，通过角α与角β之和等于两个直角，可满足普勒菲尔的平行公理。如图2
图2 由椭圆公设处理的平行线图形
与此同时，设一条不过椭圆中心的弦，且作该椭圆弦的两端的两条切线，就会形成L1、L2、L3三条相交的直线。进而，通过角α与角β之和小于两个直角，可满足欧氏所设的第五公设。如图3
图3 由椭圆公设处理的任意三角形
针对任意三角形的内角和的证明，可在公理化推演第五公设的过程中，由两个直角减去与角α与角β有关差角的两角之和，恰好是两条切线所夹的角，便可得到任意三角形ABP的内角和等于两个直角的结论。如图3
椭圆公设的展望
椭圆公设能否作为原始命题来完成对欧几里得第五公设的逻辑验证呢？本文只是抛砖引玉，仅提出个人的观点，涉及到“任意三角形的内角和等于两个直角”的公理化推演过程留给大家思考。
首先，我们来了解一下三角形
1.什么是三角形？
由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形。
2.什么是三角形的内角？
相邻两边所组成的角叫做三角形的内角，简称三角形的角。
3.三角形内角和定理：三角形的内角和为180度。
其次，证明三角形内角和为180度
思路分析：我们要证明三角形内角和为180度，很容易想到平角为180度，平行线的性质：同旁内角180度。那我们就可以通过平角的定义或者平行线的性质来证明。
证法一：请看下图，过C点作CD平行AB,利用平行线的性质和平角的定义就可以证明出来，详细过程见下图。
证法二：请看下图，作出辅助线利用平行线的性质和平角的定义就可以证明。
证法三：请看下图，利用两直线平行同旁内角互补证明之。
证法四：请看下图，拼图法利用平角的定义可证明之。
证法五：请看下图，作等角拼平角从而证明之。
于是从三角形的概念到证明，我们很好的回答了第一个问题“为什么任意三角形的内角和都是180度”，接下来回答第二个问题“是巧合还是万物皆规律”。
1.180度是巧合
我们知道圆周角是360度，为什么是360度？这是巴比伦人规定的。据他们观察的结果，太阳天空中的视直径，恰好是天球视周长的1/360，也就是说用360个太阳一个挨着一个排列，恰好是一圈，所以定义一圈为360度。
一周角分为360等份，每份定义为1度，于是平角就为180度，这样就可以证明三角形的内角和为180度了。真是一种巧合啊！
2.都是180度是规律
前面我们已经详细证明了三角形内角和都是180度，是实际规律。我们这里不再赘述。
世间万物既有巧合也有规律，小小的三角形具有无穷的魅力，等待我们去探索和发现。
因为三角形的一个外角，等于不相邻的两内角和，因为平角为180度。与万物的规律无关是物体形状决定的。