微积分的本质是什么？

小学时候我们就学过圆的面积公式

其中S是圆的面积，π是圆周率，R是圆的半径。大家还记得这个公式是怎么得到的吗？

首先，我们画一个圆，这个圆的半径为R，周长为C。我们知道，圆的周长与直径的比定义为圆周率，因此

这个公式就是圆周率π的定义，是不需要推导的。

然后，我们把圆分割成许多个小扇形，就好像一个比萨饼分割成了很多小块。再然后，我们把这些比萨饼一正一反的拼在一起，这样就形成了一个接近于长方形的图形。

可以想象，如果圆分割的越细，拼好的图形就越接近长方形。如果圆分割成无限多份，那么拼起来就是一个严格的长方形了。而且，这个长方形的面积与圆的面积是相等的。我们要求圆的面积，只需要求出这个长方形的面积就可以了。

这个长方形的宽就是圆的半径R，而长方形的长是圆周长的一半

根据长方形的面积公式“长方形面积=长乘宽”，我们得到圆的面积公式：

其实，这个推导过程很简单，那就是先无限分割，再把这无限多份求和。分割就是微分，求和就是积分，这就是微积分的基本思想。

大家知道微积分是谁发明的方法吗？

其实，从古希腊时代开始，数学家们就已经利用微积分的思想处理问题了，比如阿基米德、刘徽等人，在处理与圆相关问题时都用到了这种思想，但是那时微积分还没有成为一种理论体系。直到十七世纪，由于物理学中求解运动-如天文、航海等问题越来越多，微积分的需求变得越来越迫切。于是，英国著名数学家和物理学家牛顿和德国哲学家和数学家莱布尼茨分别发明了微积分。

1665年，牛顿从剑桥大学毕业了，当时他22岁。他本来应该留校工作，但是英国突然爆发瘟疫，学校关闭了。牛顿只好回到家乡躲避瘟疫。在随后的两年里，牛顿遇到了他的苹果，发明了流数法、发现了色散，并提出了万有引力定律。

牛顿所谓的流数法，就是我们所说的微积分。但是牛顿当时并没有把它看得太重要，而只是把它作为一种很小的数学工具，是自己研究物理问题时的副产品，所以并不急于把这种方法公之于众。

十年之后，莱布尼茨了解到牛顿的数学工作，与牛顿进行了短暂的通信。在1684年，莱布尼茨作为微积分发明第一人，连续发表了两篇论文，正式提出了微积分的思想，这比牛顿提出的流数法几乎晚了20年。但是在论文中，莱布尼茨对他与牛顿之间通信的事只字未提。

牛顿愤怒了。作为欧洲科学界的学术权威，牛顿通过英国皇家科学院公开指责莱布尼茨，并删除了巨著《自然哲学的数学原理》中有关莱布尼茨的部分。莱布尼茨也毫不示弱，对牛顿反唇相讥。两个科学巨匠的争论直到二人去世依然没有结果。所以我们今天谈到微积分公式，都称之为“牛顿-莱布尼茨公式”。

他们在自己的著作中删除对手的名字时，如果知道后人总是把他们的名字放在一块写，又会作何感想呢？历史就是这么有趣。

为了让大家更了解微积分和它的应用，我们再来计算一个面积：有一个三条边为直线，一条边为曲线的木板，并且有两个直角。我们希望求出木板的面积。

为了求出这个面积，我们首先把木板放在一个坐标系内，底边与x轴重合。左右两个边分别对应着x=a和x=b两个位置，而顶边曲线满足函数y=f(x).函数的意思就是一种对应关系：每个x对应的纵坐标高度是f(x)。

如果我们把这个图形使用与y轴平行的线进行无线分割，那么每一个竖条都非常接近于一个长方形，而且长方形的宽是一小段横坐标Δx，高接近于f(x)，所以这一小条的面积就是f(x)Δx。

现在我们把无限多的小竖条求和，就是板子的面积，写作

其中a叫做下限，b叫做上限，f(x)叫做被积函数，这个表达式就是积分，表示f(x)、x=a、x=b和x轴四条线围成的图形面积。

怎么样？虽然微积分的计算比较复杂，但是明白原理还是十分简单的，对不对？

今年我家孩子上大学。暑假里我给他讲了一下微积分的本质。我给自己设定的要求是没有一个公式，而且中学生都能听得懂，我是这样讲的：

求一个直角三角形的高，可以通过底长和夹角来推算，但如果三角形是一个曲边的呢？再用加角和底边儿推算就会产生很大的误差。

那该怎么办呢？不妨曲边三角形分成三段，形成三个蓝色直角三角形的，再通过它们夹角和底长推算数三个小高度，这三个小高度就叫做“微分”。

然后，将这三个微分累积起来，就叫做“积分”，这个积分就是我们所求的曲边三角形的高度。

问题来了，这三个蓝色直角三角形的高度，其实是低于实际高度的，会有一个红色的小误差。

如何将这个误差消除呢？如果分成更多段，形成更多的蓝色直角三角形，那么这个红色的误差就会快速缩小。

如果分成无穷多段，形成无穷多个蓝色直角三角形，那这个红色的小误差就会消失。

所以说微积分的本质就是：通过无穷小来求总和。

这算不算史上最容易理解的微积分科普？

先不忙夸我，这个例子及其说法是我从中国科学院林群院士那里偷学来的。

这个问答可是有院士背书啊请大力点赞评论和转发！

微积分的本质是什么？

微积分是一门变量学科，包含着丰富的辨证思想。恩格斯说:“有了变量，辩证法就进入了数学”，“变数的数学——其中最重要的部分微积分——本质上不外是辩证法在数学方面的运用”，通过变量、函数、极限、微分和积分等基本概念和基本方法，将辨证思想渗透到整个微积分之中，在一定条件下，使数学中直与曲、常量与变量、有限与无限、局部与整体、近似与精确、特殊与一般、离散与连续、对立与统一、量变与质变、否定与肯定等基本矛盾的对立面相互转化，是微积分中辨证思想的具体体现。

一、直与曲的思想

恩格斯曾经指出:“高等数学的主要基础之一是这样一个矛盾，在一定条件下直线和曲线应当是一回事，我们知道，直与曲是有严格区别的两个概念，从直观形象看，前者平直后者弯曲；从几何特征来看，前者曲率为0，后者曲率不恒为0;从代数表达式来看，前者是线性方程，后者是非线性方程；一般情况下，无论在理论的处理上还是在实际的计算上，直比曲要简单得多，然而在形而上学看来，曲就是曲，直就是直，非此即比;辩证法认为，在一定条件下，直与曲可以相互转化。

通过直认识曲是微积分中解决许多问题的一个重要思想，直与曲的转化是微积分必不可少的一个方法，微积分正是利用直与曲的矛盾转化达到了初等数学所完全不能达到的目的，微积分中有许多在曲的局部以直代曲来解决问题的典型例子。

二、常量与变量的思想

常量与变量是数学中的两个基本概念，常量是反映事物相对静止状态的量，而变量则是反映事物运动变化状态的量，这两种量的意义有着严格的区分，但是它们又是相互依存、互相渗透，在一定条件下相互转化的，在微积分的内容体系中，要充分重视常量与变量在一定条件下的相互转化关系。

三、有限与无限的思想

有限与无限是对立的统一，在微积分中，我们往往通过有限来认识无限，也通过无限来确定有限。

四、局部与整体的思想

变量变化过程中的局部与整体之间的相互对立统一的辨证关系，使得整个微积分在这对矛盾的基础上得以展开，在微积分中，通过局部的性质来揭示整体的性质，又通过整体来刻画局部，是一个经常用到的重要方法。

五、近似与精确的思想

微积分中通过先近似、再精确的转化使得问题变得比较容易解决。

六、特殊与一般的思想

从一般到特殊和从特殊到一般乃是人类认识客观世界的一个普遍规律，一方面由于事物的特殊性中包含着一般性，即共性存在于个性之中;另一方面，一般概括了特殊，一般比特殊更能反映事物的本质

七、连续与离散的思想

在数学中，无论是描述相对静止状态的量，还是描述运动变化状态的量，都存在着两种情况:连续与离散，连续与离散是数学研究中的重要矛盾之一，它们既有本质的差别，又在一定的条件下互相转化。

八、对立与统一的思想

对立统一规律是唯物辩证法的实质和核心，是唯物辩证法的最基本的规律，它认为:任何事物自身都包含既相互联系又相互排斥的两个方面，也就是每一事物都是一分为二的，都分裂为两个对立的部分、方面和趋势，它们互相排斥、对立，但又互相联系，两者共处于矛盾的统一体中，数学中到处充满着矛盾，充满着各种对立面的转化，比如，数学中直线可以看成半径为无穷大的圆，半径为无穷大的圆，也可以看成直线.就是说在这种意义下，直线和圆可以互相转化或者说“直和曲”可以互相转化，类似地，平面可以看成半径为无穷大的球，半径为无穷大的球也可以看成平面，在这种意义下，两者是统一的，可以互相转化、替代。

九、量变与质变的思想

辩证唯物主义告诉我们，一切物质都是质与量的统一物质的运动、变化和发展，不仅有一定的空间形式，而且有一定的数量关系，这就是说，量是形和数的统一，数学正是以现实世界的空间形式和数量关系为研究对象的，即从量的关系方面去把握事物的质及其变化规律，事物的量变质变规律反映在数学中，一是表现为数学的质的差异;二是从量变到质变的飞跃过程。

十、否定与肯定的思想

任何事物的内在矛盾都可以归结为肯定和否定两个方面，唯物辩证法从事物肯定和否定的对立关系中，揭示了事物发展是辨证否定的过程，用发展的观点揭示和阐述科学内容的辩证实质，是马克思运用唯物辩证法研究科学问题的一种独到的思想方法，运用这种思想方法可以将科学概念、理论和方法从唯心主义、形而上学等错误哲学观点的束缚下解放出来，使其置于正确哲学思想之上。

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首先，谢邀。

说到微积分，我觉得这是我们接近世界本质，所迈出的第一步。

为什么这么说呢？因为，如果数学还停留在算个横平竖直、矩形三角的面积的话，那么离应用真的是差太远了。

数学是什么？

一个工具，如果说物理是在探究这个世界的一些规律和原理的话，那么数学就是物理的语言。

如果没有微积分，这个语言就几乎失去了价值。这个世界其实没有那么多棱角，连随便一块石头，都有风、水和岁月的侵蚀，来把棱角打磨。那么微积分就是打开了通向这个“圆滑”的世界的大门；除此之外，这个世界还是多变的，虽然说“你不可能踏入同一条河流两次”这样的观点太唯心，但是正是这样的思想告诉了我们一个道理：

这个世界变化太快。

而微积分给了我们去跟上变化的资本。

万变不离其宗，你怎么变，我都可以去积分积出来。

用哲学的角度看：

积分是看到了量变产生的质变。

微分是放大丝毫的变化，让你不被任何一个“平滑掉”的数据，蒙蔽双眼。

微积分，让我们有可能看清世界。

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毕竟，我辣么萌~

微积分的本质是什么？能否用通俗易懂的语言表达？

微分和积分的本质必须合起来讲，才有可能通俗易懂；要是分开来讲，反而变抽象了。

我们不妨以事物在时间中产生变化为例。积分相当于是指事物经历时间后产生的总变化量，微分则相当于指事物在每一个刹那的微小变化量。因此，积分显然是由微分累积而成的。所以这个道理其实只是一个非常简单的常识，可以归纳为一句话：

一段时间的总变化量，是由这段时间中的每个刹那的变化量累积而成的！

这是不是简单到跟废话没有差别？的确就是这么简单。

我们将总变化量切分成一份一份（由时间来衡量的话，就是一刹那一刹那）的变化量的过程叫做微分；而将一份一份的变化量累积出总变化量的过程叫做积分。

我们要特别注意到，这里有一个难点：

• 每个刹那的变化量，或者说每一份微分其实基本都是不同的，因为每个刹那的变化率在绝大多数情况下都不是均匀的（否则我们就不需要微积分了）。
  
• 就像我们开车时，由于每个刹那的实际速率其实都是不同的，导致每个刹那的位移量也有大小不同。
  

因此，我们就必须能找到办法来计算每一份微分，然后能通过微分来计算积分。这就是微积分所要完成的总任务。

微积分的本质，事实上彻底体现在一个数学公式，被称为“微积分基本定理”，又称为“牛顿-莱布尼兹公式”：

这个公式如果能够理解的话，其实就等于彻底理解了微积分思想的全部。剩下的就只是对微分与积分规则的技术性掌握了。既然是谈本质，我们这里就不谈技术性问题了。

这个公式涉及到两个函数，一个是f(x)，一个是F(x)。至于什么是函数，不懂的话得自己去自学，毕竟这属于初高中的知识，否则得通俗到从小学讲起了。

在这个公式中，F(x)可称为f(x)的一个原函数或者不定积分。F(x)在x点上的变化量，也即在x点时的微分，我们标记为dF(x)；它是在x点的变化率也即f(x)与该点发生的微小变化量dx的乘积，也即dF(x)＝f(x)dx。所以f(x)＝dF(x)/dx，因此f(x)又称为F(x)的导数函数。

假设有一个事物在运动，我们不妨将函数f(x)理解为记录该事物的速度关于时间的函数，而将F(x)理解为该事物的位移关于时间的函数。于是dF(x)＝f(x)dx的意思其实是指x刹那时的微小位移量，等于x刹那时的速率与该刹那时间的乘积。

如果初始时刻是a，而末了时刻是b，则时间的自变量x就从a变化到了b。于是F(b)－F(a)显然就是指从时刻a到时刻b，事物的位移量，也即f(x)在这个时间段的定积分。它是怎么计算出来的呢？它是从时刻a到时刻b的每一份微小位移（微分）累积而成的总位移量(积分)。

明白了上述道理后，我们会发现，如果我们掌握了计算微分以及积分的基本规则，我们也就有办法计算变化率不均匀事物在运动变化中的瞬间变化率(导数)，瞬间变化量(微分）以及积累的总变化量(积分）的根本办法。这显然就更加对应现实世界了。

思想真正掌握了，再具体去熟悉计算规则，微积分也就不见得有多少难度了。

微积分的本质这个问题，我在年轻的时候就做过长时间的思考。因为我想在我自己的研究中把它的本质思想融入进去。除其形式外主要考虑的是其与物理世界的本质联系。想通这个本质，就能理解为什么微积分在物理上有如此众多的应用。

先从定积分说起。它在形式上是乘积的累加然后取极限。这个乘积是函数值乘以一个区间的微小分割，有何物理意义？ 首先常数的乘法在物理上多可以用来表示一个强度乘以一个作用范围(广度)得出一个作用结果值。例如一个恒定力作用于一段距离，乘积为功。此时的强度是均匀作用于其广度上的，因此计算用常数的乘法很简单。但是考虑如果在一个可无限细分的广度范围内，强度的作用是处处不一样的，那么其作用结果怎样计算？此时人们想到先求其近似值的一般形式: 也就是对此广度作若干分割，分割比较细时，每个分割内取一个强度值作为平均代表，乘以这个小的广度值，得到一部分的作用结果近似值。然后再累加所有结果值的近似作用量得到近似的总量。最后利用极限的方法把近似和逼近到所谓的精确值。这个结果就是定积分。那么定积分的物理本质意义就是可变强度在其作用广度上的作用效果总值的极限精确计算。

微分和导数的意义可以反过来理解。考虑一个广度范围上一个因可变强度累计作用而得的效果值，因广度累计的不同，作用累计的值可以是非正比例的。那么求导数的过程和上面的相反，先细分一个小广度区域，用两个不同的累计值相减，得出一个小范围的作用值，除以小范围的广度量，得出近似的平均强度值，再让该小广度范围逼近0，取极限就得到该“点”上的真实强度值。所以导数的物理本质是由累计效应求出局部强度。速度是距离的强度，压强是压力的强度。都是例子。可以有作用量求导得出。而微分是导数再乘以小的广度细分值(广度的微分)，得出微化的局部近似作用总量。

这样就有助于那些已经学了微积分的人更好理解了。

然而笔者进一步提出一个问题？作用值都是强度与广度的代数乘积吗？局部的作用效果的合成都是用加法计算吗？物理学得好的同学可以直接回答不！例如电阻的并联就不是加法。

因此笔者基于同样的思想，尝试把代数四则运算和微积分都做进一步上升，得到一个新的数学系统。我把它成为《同构数学分析》。

有兴趣的朋友可百度搜索《论广泛四则运算和同构微积分》《论第二类同构微积分》《论广泛平均值和双变量同构凸函数》。

在此系统中，普通的微积分只是体系的一个特例，也就是强度和广度各种作用的运算是代数加减乘除的情形。在我的体系语言中称为系统的相关同构映射为y=x。选取不同的一维或n维或其组合的同构映射例如对数映射，得到不同的同构微积分。系统中牛顿莱布尼兹公式有两种上升形式，要用到新创的符号来表示。两者的特例之一都可以是牛莱公式。

另外上面说到了平均，这在新系统中是重要的概念。提出了函数的双变量同构平均值，又细分为5类函数的广泛平均值。这样就较好的统一了数学中常见的多数平均值，并给出部分比较法则定理。sinx在0到pi之间的的几何平均值就是一个典型的特例，其值为1/2。这是多数人都不知道的极美而又极简的结论！这个结果是可用数学软件验证的！也可以用系统的定理法则来比较它是小于同区间的算术平均值的（2/pi）。

新的系统里还有很多新的有趣的概念和方法，有兴趣的朋友可以下载论文来研究。希望可以成为初高等数学爱好者的一个新的研究平台或方向。有兴趣请关注我。tim。

很难一句话说清楚。你要明白，微分学和积分学独立发展了几百年，直到牛顿和莱布尼兹才发现了两者之间的数学关系，从而建立现代微积分体系。但是，微积分的数学基础并不牢靠，出现了很多悖论和难以解释的问题，在阿贝尔、柯西等人的努力下，终于在一百多年前完成了实数完备性理论的证明，他们定义了很多约束条件，定义了可积、可微、可导、连续、极限等概念。

微分学研究的是速率、加速度、斜率、切线、变化率等物理量，以及数学上的可微、可导、连续、单调性、极值、最大值、最小值等概念。积分学研究的是累积量，例如长度、面积、容积、体积，它的日常实用性更强。

应该说在数学上，微分学一开始是比较完善的，在牛顿以前求面积、体积等的积分学发展缓慢，比较困难。两千多年前，刘徽就会使用“割圆术”求圆周率，本质上就是一种微积分，通过微分学来割圆，再通过圆内外多边形周长逼近，求圆周率的极限。阿基米德最早通过数学和物理结合的方法求出了球的体积，直到中国南北朝时期的祖暅才第一次使用完全的数学原理推导出了球体积公式。西方到了十五世纪意大利数学家才独立发现了“祖暅原理”，也掌握了球体积的公式推导。在数学微积分上最标准的球体积分，发展就如此具有挑战，更不用说其他复杂的曲线、图形、物体了。

牛顿和莱布尼兹发现了微分学和积分学的关联，这是人类数学上的重要突破。牛顿-莱布尼兹公式描述了定积分与原函数之间的关系，微分与积分合为一体，成为微积分。牛顿-莱布尼兹公式简化了定积分的计算，人类从此可以计算任意曲线、复杂图形面积、各种体积。从那之后，人类花了几千年才搞懂的球体体积计算只是微积分里最简单的题目。

牛顿-莱布尼兹公式提供了定积分的计算方法，形成了微积分主框架，但是并没有定义微积分的各种细节和概念，缺少微积分的砖头和水泥。当时很多数学家套用牛顿-莱布尼兹公式得出来很多似是而非的答案。人们意识到微积分理论是不完善的，并非任何函数都可以微分或者微分，并不是任何函数都有极限……甚至无法解释阿基里斯悖论，为什么阿基里斯无法追上一只乌龟。后来的两百多年间，不少数学家开始公理化定义这些微积分概念。例如，每个学高数的学生，都知道柯西极限存在准则，并且以此对很多函数做证明。从现代完善的实数理论来说，求导之前，必须证明可导；求极限，必须先判断是否存在极限；求积分，必须先判断可积。否则，直接套用公式就会得到错误的结果。

一些民科缺乏数学素养，他们并不清楚这些实数完备性定理，讨论一个没有极限的数列的极限，讨论一个不可积的函数的积分结果，还以为自己得到了数学突破，成了牛顿在世。

微积分就是微分和积分，微分和积分都是研究函数的，函数是用来描述变量之间的变化关系的数学工具。

从微观的角度研究函数就是微分，从整体的角度去研究函数就是积分。 微分是函数在某点的瞬时变化率，积分是函数在整个区间上每一点效果的总和。一个从局部研究函数，一个从整体研究函数，那么这二者有什么关系呢？

微积分之所以叫微积分，而不是微分和积分就在于通过牛顿莱布尼兹公式将此二者的联系了起来。牛顿莱布尼茨公式非常重要，可以说是微积分的核心

这个定理有两个形式，一个是变上限函数的形式（微分形式丿，一个是定积分的形式（不定积分的形式）。

通俗地说，“微积分”三个字，顾名思义，就是无限分割之后再无限累加，很好理解，是大学里所有自然科学专业的必修基础课，在数学系叫做“数学分析”，在其他系叫做“高等数学”，是理科生考研的重头戏，看似深奥，其实并不难，小学、中学的数学、物理都用到了微积分的思想。

小学算术，圆形面积计算，就是从圆心到圆周做许多辅助线，把圆形平均分割成许多圆心角很小的扇形，再把这些扇形相互交错地拼接成近似的矩形，分割得越细，拼接出的图形就越接近于矩形，当无限分割时，拼接出的图形就是矩形，这其实就是所谓的微积分，矩形的长等于圆形周长的一半πr，矩形的宽等于圆形的半径r，因此矩形的面积为πr2，也就是圆形的面积。
高中立体几何，球体体积计算，我上学时用的教科书，是将球体平行分割成许多圆台，两个最边上的看做近似的圆锥体，不过我觉得这种方法不好，推导过程太麻烦，不如从球心到球体表面做许多辅助线，把球体分割成许多顶角很小的近似的锥体，所有锥体的底面积之和等于球体的表面积4πr2，锥体的高近似等于半径r，和前面的圆形面积同理，分割得越细，锥体的高就越接近于半径，当无限分割时，锥体的高就等于半径，因此球体的体积为4πr3／3，我觉得这样推导体积公式简单得多，用微积分的专业术语来说，球面积分比直角坐标积分简单，不过上中学时不敢违抗课本和老师，呵呵。

高中物理，力学里的加速度，就是速度的导数，只不过高中没有正式学过微积分，只能用初等数学的方法，所以说，大学里的普通物理，其实比中学物理容易，大学的高等数学，也比高中数学容易，就像用初中代数做《九章算术》里的“鸡兔同笼”一类的题，比用小学算术去做要简单一样。

积分

对于经常学习使用微积分的我来说哦，理解微积分就需要理解下面几个点：

1.无穷小：无限趋近于0的变量。将一根木棍均匀分割成无限多的小段，每一小段就是一个无限小的量。

2. 在无限小的世界里，没有曲线。所有无限小的线段都是直线。如下图所示，当需要求曲线下方与X，Y轴之间面积的时候，最容易的想法就是无线分割。如下图这样将X轴分割成7等份，整个面积被分成了7份。但是当无限分割后，阴影面积被分解成无限份，因为无限小的线段都是直线，两个曲线上无限接近的点的连线可以看做即平行于X轴，也平行于Y轴（比较抽象）。

所以阴影面积就是无穷多个矩形面积的和。

这个是积分：无线分割然后求和的过程。

正弦函数曲线面积

微分

微分的几何意义可以看做求曲线上任一点的切线斜率。

微积分的应用

这还是很多例子中的一个，活学活用才能体会到微积分的强大。

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