如何通俗的解释泰勒公式？

（关于泰勒公式小石头这里有两钟不同的解释与大家分享！）

我们知道 √2 作为第一个被发现的无理数， 是不能用 有理分数精确表示的，但是我们可以用 有理分数 来无限逼近：

这就是，所谓的无限（不循环）小数：

这种无限逼近的思想就是后来鼎鼎大名的极限，其在数学中由来已久，比如：用割圆术求π值，而且生活中也经常被大家使用，例如：

• 将金属物体表明抛光：先用粗颗粒的砂纸打磨，然后用中颗粒砂纸，然是细颗粒，然后是颗粒更细的研磨膏，然后是更更细的，... 这个过程一直进行下去，我们就可以得到越来越光亮的金属表面；
• 称取一斤盐：根据经验先往秤盘里加一斤盐左右的盐，发现多了取出来一些、发现少了再加一些，...这个过程一直进行下去，我们就可以得到越来越接近一斤的盐；

对于给定的函数 f(x) ，我们也可以用一个函数的序列 f?(x), f?(x), f?(x), ... 来无限的逼近它，即，

f(x) = f?(x) + f?(x) + f?(x) + ?

接下来，我们需要确定 这个序列！

首先，观察 √2 无限逼近形式 (1)，我们可这样理解：

从 原点 0 出发 ，沿着坐标轴方向，

先用 步距是 1/10? = 1 的步伐 走 1 步；

再用 步距是 1/101 = 0.1 的步伐 走 4 步；

再用 步距是 1/102 = 0.01 的步伐 走 1 步；

....

再用 步距是 1/10? 的步伐 走 a_n 步；

....

可见，这里的关键是 越来越小的 步距序列：

1/10? > 1/101 > 1/102 > ? > 1/10? > ?

所以，我们要可以逼近 f(x) 就是首先要找到 一个 越来越小的 函数序列。

我们先降低要求，不对 整个 f(x) 逼近，只逼近 x = 0 附近的 f(x) 部分，这时我们发现，幂函数 序列：

x? , x1, x2 , x3, ..., x?, ...

在 x = 0 附近 (-1, 1) 是满足 （绝对值）越来越小的 要求的。

于是，仿照 √2 ，令，

则有，

这称为幂级数，最后，要做的事情就是确定幂级数的系数了。

首先，将 x = 0 带入 式(2)，立即得到，a? = f(0) = f(0)/0!；

然后，我们对 式(2) 两边求导，有：

再将 x = 0 带入 式(2.1)，得到，a? = f'(0) = f'(0)/1!；

然后，我们对 式(2.1) 两边求导，有：

再将 x = 0 带入 式(2.2)，得到，a? = f''(0)/2 = f''(0)/2!；

然后，我们对 式(2.2) 两边求导，有：

再将 x = 0 带入 式(2.3)，得到，a? = f'''(0)/3?2 = f'''(0)/3!；

...

然后，我们对 式(2.n-1) 两边求导，有：

再将 x = 0 带入 式(2.3)，得到，a_n = f???(0)/n?(n-1)?(n-2)?2 = f???(0)/n!；

...

这样，我们就通过递归的方式，逐一确定了系数，并且最终得到了：

这称为 迈克劳林公式。

利用 迈克劳林公式，指数函数 f(x) = e? 的 幂级数展开式为：

其，逼近情况如下图：

我们可以看到，随着幂级数项数的增加，在 x = 0 附近的，蓝色的 幂级数 越来越逼近 绿色 的指数函数。同时，我们还发现，在 距离 x = 0 很远的地方，幂级数项数少的时候，逼近情况并不好，这是 迈克劳林公式的一个局限！

迈克劳林公式的另外一个问题是，有些函数的 导数 在 x = 0 处 没有意义，例如：函数 √x 的 导数是 1/2 √x。

为了弥补这两个缺陷，我们考虑 将 逼近中心，从 x = 0 移动到 任意 x = a，这时，我们每个函数项为：

然后，用与上面的一样的方法（只不过，每次带入 x = a），可以求得系数为：

最后，得到：

这就是 泰勒公式。

利用 泰勒公式 就可以 得到 √x 在 x = 1 处展开式了：

代入 x=2 就可以得到 √2 的另外一种逼近：

综上，我们可以得出 小结论1：

泰勒公式就是 在 x = a 点附近 利用幂函数序列 (x - a)?, (x - a)1, (x - a)2, (x - a)3, ... 来逼近 函数 f(x)。

由《平面解析几何》知，平面上的点和二维向量一一对应，所有这些二维向量组成一个二维向量空间，记为 R2 ，在这些二惟向量中， 单位向量 ε? = (1, 0)，ε? = (0, 1) 分别指向 X 轴 和 Y 轴 的正方向。

对于 R2 中任意一个 向量 α = (a?, a?)，都有：

即，

这说明 任意一个 向量 α 都可以用 ε?, ε? 来表示，我们称 ε?, ε? 为向量空间 R2 的一组基，称这种表式为 线性表示。

基 ε?, ε? 和 坐标轴 X, Y 对应，线性表示的系数 a?, a? 就是 α 的坐标分量， (a?, a?) 就是 α 在 ε?, ε? 对应 坐标系 XY 中的 坐标。

类似地，以上模式，对于任意 n 维空间 R? 同样适用。我们 只需 令 R? 的 基 为：

ε? = (1, 0, ..., 0)，ε? = (0, 1, 0, ..., 0), ..., ε_n = (0, 0, ..., 1)

则， R? 中 任意 n维向量 α ，都可以被线性表示为：

其中，系数 (a?, a?, ..., a_n) 为 α 在 ε?, ε?, ..., ε_n 对应坐标系中的 坐标。

不仅如此，我们还可以将有限维向量 α = (a?, a?, ..., a_n) 升级为无限维 α = (a?, a?, ...) ，无限维向量也就是序列，记为 α = {a?, a?, ...}，将全体序列记为 l。定义 无限个元素的基为：

ε? = {1, 0, ...}， ε? = {0, 1, 0, ...}, ...

则， l 中 任意序列 α = {a?, a?, ...} ，都可以被线性表示为：

其中，系数 (a?, a?, ...) 为 α 在 ε?, ε?, ... 对应无限坐标系中的 坐标。

序列，α = {a?, a?, ...}，其实就是 正整数 Z? 到 实数 R 的映射，α: Z? → R，其中 Z? 中的 正整数 作为 序列下标，任意给定 一个 下标 i ∈ Z? 都可以通过 α 得到，序列的第 i 个 数字

考虑将 映射 α 的定义域，由 正整数 Z? 变为 实数 R，这样 映射 α 就变成了 我们熟悉的 函数 f: R → R，我们将 区间 [a - b, a + b] ? R 内 满足 一定条件 的全体 函数 组成 函数空间， 记为 L2[a - b, a + b]。定义 无限个元素的基为：

ε? = (x-a)?, ε? = (x-a)1, ε? = (x-a)2, e? = (x-a)3， ...

则，函数空间 L2[a - b, a + b] 中 任意 函数 f(x) 都可以 用 这一组基 来线性表示：

这就是 泰勒公式。

这个一定条件指的是：f(x) 在 区间 [a - b, a + b] 内 2 次可 积分，即，

存在。（更准确的定义 必须使用测度论，这里就不引入了！）

当 a = 0， b = 1 时，空间 L2[-1, 1] 内 任意 函数 f(x) 都可以被 幂函数 基 x?, x1, x2, x3, ... 线性表示为：

这就是 泰勒公式的特殊形式 迈克劳林公式。

注意：前面的 指数函数 f(x) = e? 满足 条件2，所以属于 L2[-1, 1] 于是可以被 迈克劳林公式 表示；而 函数 f(x) = √x，在 [-1, 0) 没有定义 所以 不属于 L2[-1, 1] ，但是 它属于 L2[0, 2]，所以才有前面的 泰勒公式 展开。

综上，我们可以得出 小结论2：

泰勒公式，

中的 幂函数 (x-a)?, (x-a)1, (x-a)2, (x-a)3，... 其实 是 无限维 函数空间 L2[a - b, a + b] 的一组基，构成 L2[a - b, a + b] 的一个无限坐标系，系数 (a?, a?, ... ) ，f(x) 在 这个坐标系中的 坐标。

（所谓通俗解释，就是非常个人化的理解，并不是非常严谨，以上仅仅是小石头的理解方式，写在这里起到抛砖引玉的作用，相信头条的各位老师会有更精彩的回答！）

如何通俗理解泰勒公式呢？

首先我给你一个很长的泰勒公式：

你说道，我看不懂。这个公式有什么用呢？

于是我们随便把一个函数,比如e^x用泰勒公式改写，原来e^x居然能展开成幂函数相加的形式！

你说道，我还是不明白，还是不够直观。

于是，我们画出了y=e^x的图像：

y=e^x的图像

当x拟合到5次方时，已经和e^x基本重合了，如果一直加下去，结果可想而知：

再举个例子：

现在我们来做实验：

继续增大拟合项：

你看，它又跟进了更多的sinx

现在，你再来看它

是不是算初识了呢？

为什么需要凑够300字才能声明原创，那我就再举个例子吧：

比如我们的著名函数：

你突然想问，ln2等于多少？如果你手头没有计算器，怎么办呢？当然是把x=2带进上面的等式里了，不过，你要知道：就连你的计算器其实也是按照这个泰勒展开公式来算ln2的，没想到吧？

公式我就不粘了。直接给你说作用。如果你的数学卷子上给你出一道sin(0.05)等于多少，cos(0.1)等于多少，ln(1.02)这种题，还不让你用计算器，只能手算，那么你能算出来吗？这个时候泰勒公式就发挥它的作用了。

泰勒公式的作用，一句话说就是，把不使用加减乘除的初等函数（诸如三角函数、反三角函数、对数函数，等等）化为使用加减乘除计算的函数，这种函数的形式是高次无穷多项式。

等价无穷小其实就是泰勒公式的前一项或者两项、三项。

比如，x趋于0时，sinx等价于x，因此sin(0.05)约等于0.05。

x趋于0时，cos(x)等价于1-x2/2，因此，cos(0.1)约等于1-0.12/2=0.995

x趋于0，ln(x+1)等价于x，因此，ln(1.02)=ln(1+0.02)约等于0.02。

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这里主要是对高票答案的总结, 外加一些自己的理解, 希望能写的更通俗易懂一些, 方便大家理解.

1. 麦克劳林公式

对于一些复杂的函数, 要研究其性质往往是比较困难的. 而多项式函数的性质往往比较简单, 所以有时候, 为了方便研究, 我们可能会想着: 能不能用一个多项式函数去近似一个复杂的函数?

比如说, 现在我们想在点0附近, 用一个多项式函数, 去近似一个复杂函数

我们知道当x=0时,

, 所以不妨拿一个"当x=0时, y值也为1的函数"来近似试试, 比如说: y = 1

绿色的线是e^x, 蓝色的线是y = 1, 下同

可以看到, 在x=0这一点上, 两个函数的值都是1, 但在x=0的邻域, 这两个函数的图像一点都不相似, 所以这个近似效果一般...

那如何让近似效果更好一些呢, 可以想到, 不妨用导数试试. 导数可以反应函数在某一点的变化率, 如果两个函数在x=0处, 除了y值相同, 变化率也相同, 那两个函数应该会更相似一些.

, 当x=0时,

的导数为1

所以我们需要近似函数在x=0处的导数也为1, 比如说这个函数: y = 1 + x, 其导数y'等于常数1, 在x=0处的导数自然也为1

现在: 原始函数

, 近似函数y = 1 + x, 这两个函数在x=0处, 除了y值相同, 导数也相同. 我们来看看这两个函数的图像

两个函数的图像更接近了, 看来这个思路是正确的, 那沿着这个思路, 如果让近似函数在x=0处的二阶导, 和

在x=0处的二阶导也相同呢...即在x=0处, 两个函数变化率的变化率也相同...

所以

在x=0处的二阶导也为1

那么我们选定近似函数:

近似函数在x=0时, y=1,

近似函数的一阶导为1+x, 当x=0时, 一阶导为1,

近似函数的二阶导为常数1, 当x=0时, 二阶导也为1,

这些值和

在x=0处的y值, 一阶导, 二阶导的值是相同的, 来看看两个函数的图像

更相近了...

然后我们按照这个思路, 来试试三阶导

让近似函数在x=0处的y值, 一阶导, 二阶导, 三阶导的值 =

在x=0处的y值, 一阶导, 二阶导, 三阶导的值

比如近似函数为:

(这个函数是满足上述条件的, 这里就不验证了)

看一下图像:

更相近了..

再来看几张:

四阶导相同

五阶导相同

十阶导相同, 近似函数和原始函数n阶导相同, n越大, 近似程度越高

按这个思想, 假设原始函数在x = 0处n阶可导(比如

在x=0处就是n阶可导)

如果让近似函数在x=0处的y值, 一阶导, 二阶导 ...n阶导的值 =

在x=0处的y值, 一阶导, 二阶导 ...n阶导的值. 则可以推测此时两个函数的图像应该会很相似, 或者说近似函数对原始函数的近似效果应该会很好, 事实也确实如此.

麦克劳林公式(麦克劳林公式就是x0=0时的泰勒公式, 后面会具体讲泰勒公式)就是在描述: 如何找到满足上述条件的近似多项式函数, 写成公式大概是:

左侧是原始函数, 右侧是近似多项式函数

而两者之间的关系只是约等于, 或者说是近似. 实际上, 完整的麦克劳林公式是这样的:

后面的

是佩亚诺余项, 加上这个佩亚诺余项, 左右就相等了

麦克劳林公式的含义就是: 如何在x=0附近, 用一个多项式函数(等号右侧的函数), 去近似一个复杂函数(等号左侧的函数)

(这里稍微说一下佩亚诺余项: 在麦克劳林公式中, 佩亚诺余项

是个当x→0时比

高阶的无穷小, 这也就说明, 在x=0附近, 用麦克劳林公式产生的多项式函数(不含余项部分)去近似原始函数时, x离0越近的地方, 近似的误差越小, 近似效果越好, x离0越远的地方, 近似的误差越大, 近似效果越坏)

2. 为什么麦克劳林公式会是这种形式

麦克劳林公式:

为什么等号右侧的多项式(不含最后的余项)要写成这种形式呢? 其实理论上, 右侧的多项式也可以写成别的形式, 其本质只是为了满足下面这个条件:

让右侧多项式函数在x=0处的y值, 一阶导, 二阶导 ...n阶导的值 = 被近似函数在x=0处的y值, 一阶导, 二阶导 ...n阶导

这里的多项式

只是满足这个条件的一种形式. 如果还有别的形式的函数可以满足这个条件, 它也可以替换掉麦克劳林公式中的的多项式部分.

这里引用下"各向异性角点解"同学的一段话:

泰勒展开(或者说麦克劳林公式)并不是唯一的，因为任何在对应阶求导后能够消失并只留下导数值的函数，都可以作为泰勒展开的备胎。可惜的是，幂函数与阶乘的组合，是我们已知的唯一具有上述性质的函数，因此，这种唯一性决定了泰勒展开能够且仅能够由幂函数表示。

3. 泰勒公式

麦克劳林公式只是泰勒公式在x0=0时的特殊情况, 现在抛开x0=0, 让x0可以是函数定义域中的任意值(只要在x0处n阶可导就行), 就变成了泰勒公式

理解了麦克劳林公式, 很快就能理解泰勒公式了: 泰勒公式用于在x0附近, 用一个多项式函数(等号右侧的函数), 去近似一个复杂函数(等号左侧的函数)

4. 总结

I. 泰勒公式的作用是描述如何在x0点附近, 用一个多项式函数去近似一个复杂函数.

II. 之所以能实现这种近似, 背后的逻辑是:

让近似多项式函数在x=x0处的y值, 一阶导, 二阶导 ...n阶导的值 = 原始函数在x=x0处的y值, 一阶导, 二阶导 ...n阶导

即, 如果函数A和函数B在某一点的值一样, 变化率一样, 变化率的变化率一样, 变化率的变化率的变化率也一样...

就这样层层深入, 无论深入到哪一个维度, 关于这一点的变化率, 函数A和函数B都是一样的, 那就可以推断:

在这一点上, 函数A和B应该是一样的

在这一点附近, 函数A和B应该很相似

离这一点越远, 函数A和B的相似程度就越难以保证

...

最后需要说明的是, 这篇答案更多的是: 在默认泰勒公式正确性的前提下, 告诉大家如何去"直观感受"这种正确性, 去理解这么长的一串公式背后所表达的简单含义, 并粗略地理解公式成立的大体原因. 至于泰勒公式究竟是如何推导出来的, 其背后经过了怎样地严格证明, 这里并没有真正提及, 这些内容需要大家去查阅更多的资料, 进行深入的理解...

如果问你的车1秒钟内能跑多远，你会用车在1秒开始时的瞬时速度乘以1秒，于是有距离=速度×1秒，但如果车在1秒内不是均速的，而你又非要考虑这一因素，于是用加速度修正以上算法，近似的，取速度平均变化了多少，即1秒后的速度减开始速度除以2再乘以1秒，于是得到距离=速度×1秒+（1秒后速度-开始速度）×?×1秒，（1秒后速度-开始速度）/1秒是加速度，于是距离=速度×1秒+加速度×?×1秒2，但是你还不满意精度，因为在这一秒中加速度也在变化，即还有加加速度，于是按以上思路再做修正，距离=速度×1秒+加速度×?×1秒2+加加速度×1秒3/6(自己推导，写着太累)，如果还不满意，因为还有加加加速度，加加加加速度……，好吧，重复上述过程，直到你满意为止，如果到某次计算后你满意了，后面舍掉的误差就是余项，微积分看待距离是时间的函数，速度就是该函数的导数，加速度就是二阶导数，加加速度就是三阶导数……，用多项导数表示以上距离函数就是泰勒展开式了。

如此解释通俗吗？

公元263年，蜀国的皇帝刘阿斗向魏国大将邓艾投降，从此三国变成了两国。也就在这一年，一个叫刘徽的人出了本书，书名就叫《九章算术注》。这本书里写了一件很著名的事：

割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆合体，而无所失矣。

这段话是形容割圆术的，在圆上一遍一遍地割多边形，割的越细，就丢的越少，最后，就跟圆合体了。

割圆术就是泰勒展开的一个应用，用泰勒展开的方法您可以把任意一个形状，变成只用加减乘除就能算出来的多项式。以前人们不会算无理数，有了泰勒公式这些无理数都成了小菜一碟。

泰勒公式在计算机上特别有用。我们知道计算机只能做四则运算跟逻辑运算，而且计算机只能存储离散的数。当我们想让计算机算算根号2等于几的时候，我们该如何是好呢？别急，有泰勒公式呢。您用泰勒公式把根号2展开成一个多项式就搞定了。下面这个就是圆周率做泰勒展开后的计算公式（莱布尼兹级数）：

π/4=1-1/3+1/5-1/7+1/9……

泰勒展开有很多变化，上面那个是圆周率最简单的计算公式，它收敛得很慢，还有很多能快速收敛的公式，这里就不啰嗦了。

我最后一次接触泰勒公式，还是在考研的时候，年代很久远了，泰勒公式的具体内容早就忘光了。只记得上面的故事，讲给您听，希望能够帮到您。

你好，对于你的问题，我的观点如下，希望能帮到你。

首先，我们先来理解泰勒公式

泰勒公式的文字阐述

1. 泰勒公式是一个用函数在某点的信息描述其附近取值的公式。如果函数满足一定的条件，泰勒公式可以用函数在某一点的各阶导数值做系数构建一个多项式来近似表达这个函数。

2. 它将一些复杂的函数逼近近似地表示为简单的多项式函数，泰勒公式有很好的化繁为简的功能。

通过文字描述：泰勒公式就是把复杂的问题通过已知条件将其无限接近正确答案的求解过程。

泰勒公式中值定理

由导数的定义可知，当函数 在点 处可导时，在点 的邻域 内恒有

因为

是一个无穷小量，故有

这是在对函数进行局部线性化处理时常用的公式之一。从几何上看，它是用切线近似代替曲线。然而，这样的近似是比较粗糙的，而且只在点的附近才有近似意义。为了改善上述不足，使得近似替代更加精密，数学家们在柯西中值定理的基础上，推导出了泰勒中值定理（泰勒公式）

这也是讲它的中间性

泰勒公式的几何意义

泰勒公式的几何意义是利用多项式函数来逼近原函数，由于多项式函数可以任意次求导，易于计算，且便于求解极值或者判断函数的性质，因此可以通过泰勒公式获取函数的信息，同时，对于这种近似，必须提供误差分析，来提供近似的可靠性。

通过泰勒公式的几个意义分析，可以得出如下大致解释：

最通俗解释，就是泰勒公式是用通过已知问题求得解来构建要求问题的条件，通过多个条件推导出近视值。

以上解释只是简单的阐述问题，泰勒公式是比较高深的数学领域知识！

• 归幂公式，将函数展开为幂级数，使复杂问题简单化，易于理解。比如，在求0比0型的极限中，泰勒公式就充分体现出它的优势，三步出结果。第一步，函数展开；第二步，合并同类项；第三步，得出结果。简单而快速，泰勒公式神速解决难题。

有了泰勒，啥都能算，还能算的差不多，想差多少就差多少。只要算力足够你不来累，高阶超越全都不叫事儿，算就行了

我数学没有这么高的水平，但是理解有一点：修正主义，在大数据时代，把各数据修正为一个连续的趋势很重要，各种算法也层出不穷

就是把一个特别奇怪的函数变成一些简单函数相加，比如sinx，你让计算机直接算，它也不会，因为计算机只会加减乘除。但是换成泰勒展开后，全是简单函数相加了，计算机就能算了。